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December 15 《碎形原理》 一、對稱性無處不在
對稱性的概念最初來源於生活，大雪天，仔細觀察飄落的雪花，它們都是對稱的六角形，水晶、鑽石等晶體的對稱性比雪花有過之無不及。
藝術和建築領域中，所謂“對稱”，通常指左右對稱，我國古代的宮殿、寺廟和陵墓建築，都有較高的左右對稱性，而園林建築的佈局則錯落有致，於不對稱中見對稱。
在西方，從古希臘、古羅馬到文藝復興時期，建築師們幾乎都傾向于利用均衡對稱的構圖手法來謀求建築整體的壯嚴的美。
有生命的動植物也有對稱性，蜈蚣那麼多的足完全以身體為軸線左右對稱，楓樹牙枝左右兩排芽葉是對稱的。
大自然的驕子――人體本身就有左右對稱性，幾乎人的一切器官和組織都以脊柱為軸而左右對稱，唯有心臟偏左，肝臟偏右。
左右對稱只是對稱性中的一種，德國大數學家魏爾給出了“對稱性”的普遍定義：如果一個操作使體系從一個狀態變換到另一個與之等價的狀態，或者說，在此操作下，狀態不變，就說該系統對這一操作是“對稱的”，這個操作叫做“對稱操作”，常用的對稱操作有時空操作，其中轉動、平移、鏡象反射、標度變換等屬於空間操作，時間平移、時間反演等屬於時間操作。此外，物理學中還有許多其他對稱操作，如電荷共軛變換(即粒子與反粒子之間的變換)。
二、標度變換不變性與分形
所謂標度變換不變性，通俗地講，就是放大和縮小，海洋中生長著一種甲殼動物，叫做鸚鵡螺，它們的美麗外殼為標度變換不變性提供了一個很好的範例，鸚鵡螺殼的剖面顯示出對數螺線，是瑞士數學家伯努利取的名稱，是他首先發現這曲線的標度變換不變性，他感到這曲線具有如此美妙的性質，囑咐要把它銘刻在自己的墓碑上，並附上一句頌詞，意思是“雖然改變了，我還是和原來一樣！”
我們仔細觀察向日葵的花盤上也排列出很多相互交織的對數螺線。
在物理世界中有一種統計意義下的標度不變性，例如布朗運動曲線，如果我們把這條曲線的某個局部放大，它與原來的曲線類似，這是一種在標度變換下呈現的自相似現象。
更通俗的例子，可以考慮海岸線的長度，嚴格說來，它與所採用的比例尺有關，在小比例尺的地圖上，海岸線上許多小的曲折被拉直了，總長度顯得短了。隨著比例尺不斷放大，一批越來越小的海灣顯露出來，海岸線的總長度也就越變越長，這過程實際上是無窮無盡的，即使繪製一平方米，甚至一平方釐米範圍內的地圖，由海灘上那些大大小小的砂粒組成的海岸線仍舊是曲曲彎彎的，亦即，海岸線在標度下具有無限嵌套的自相似性，在無限大比例尺的情況下，海岸線的長度將趨於無窮。
通常說，曲面是二維的，曲線是一維的，二維的曲面有一定的面積，一維的曲線面積為零，但有一定的長度，象海岸線那樣的形體，面積為零，但長度為無窮大，它的維數介於1和2之間不是整數，這種具有分數維的形體，叫做“分形”。
分形理論誕生於70年代中期，創始人是美國IBM的研究人員芒德勃羅，他於1982年出版了《大自然的分形幾何學》，是這一學科的經典著作。
芒德勃羅所受的教育不很規則，他聲稱背字母表也有困難，但他善於用圖形化的方式思維，1944年他在大學入學考試中不能很好地對付代數題，但他卻成功地在頭腦中通過把代數問題轉化為圖形問題而取得高分，以總分第一考入法國高等師範學院。
芒德勃羅不但對幾何形狀感興趣，而且特別關注“不規則”的形狀，從50年代起，他孤身一人，整日思索著一種新的幾何學試圖通過它統一描述自然、社會中普遍存在的各種不規則現象，如流體湍動，曲折的海岸線、多變的天氣、動盪的股市、經濟收入分配關係、棉花價格的波動等等。
1975年的一天，他翻著兒子的拉丁語課本，突然受到啟發，決定根據fractus創造一個新詞“fractal”(英文詞)，70年代末傳到中國，被譯為“分形”。
芒德勃羅用分形來刻畫股票價格，顯示了大的漲跌期模仿著每月、每天的價格波動，於是整個市場從它的最大尺度到最小尺度是自相似的。
他用分形可不使用天文資料，而通過數學圖形顯示了天體物理學家剛證實的宇宙星系分佈。
80年代前，分形概念的價值並沒有惹人重視，一直到80年代中期，各個數理學科幾乎同時認識了它的價值，人們驚奇地發現，哪里有混沌、湍動、混亂，分形幾何學就在那裏登場。
分形是近20年來科學前沿領域提出的一個非常重要的概念，具有極強的概括力和解釋力，分形理論是一種非常深刻、有價值、讓人著迷的理論，是非線性科學中最重要的概念之一。
著名理論物理學家惠勒說過，在過去一個人如果不懂得“熵”是怎麼回事，就不能說是科學上有教養的人；在將來，一個人如果不能熟悉分形，他就不能被認為是科學上的文化人。
分形不但抓住了混沌與雜訊的實質，而且抓住了範圍更廣的一系列自然形式的本質，這些形式的幾何在過去相當長的時間裏是沒辦法描述的，如海岸線、樹枝、山脈、星系分佈、雲朵、聚合物、天氣模式、大腦皮層褶皺、肺部支氣管分支及血液微循環管道等等，用分形去描述大自然豐富多彩的面貌應當是最方便、最適宜的。 |
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